確率過程を用いる文献を読んでいるとフィルトレーション(filtration)という概念がでてきます.自分の頭を整理するため,その定義がどのように導入されるのか,どのように説明しているか,についていくつかの教科書を調べることにしました.本記事では離散時間確率過程について取り扱い,次の記事で連続時間確率過程について取り扱います.

Williams(1991)から引用します.{displaystyle mathsf{Z^+}:= { 0,1,2,cdots  } } です.

10.1 Filtered spaces
As basic datum, we now take a filtered space {displaystyle (Omega,mathcal{F},{ mathcal{F_n} },mathsf{P}) }. Here,
  {displaystyle (Omega,mathcal{F},mathsf{P}) } is a probability triple as usual,
  {displaystyle { mathcal{F_n}: n ge 0 } } is a filtration, that is, an increasingly family of sub-{displaystyle sigma }-algebras of {displaystyle mathcal{F} }:
                 {displaystyle mathcal{F}_0 subseteq mathcal{F}_1 subseteq cdots subseteq mathcal{F} }.
We define
                 {displaystyle mathcal{F}_infty := sigma left( igcup_n mathcal{F_n} 
ight) subseteq mathcal{F} }.

Intuitive idea. The information about {displaystyle omega } in {displaystyle Omega } available to us at (or, if you prefer, just after) time {displaystyle n } consists precisely of the values of {displaystyle Z(omega) } for all {displaystyle mathcal{F}_n } measurable function {displaystyle Z }. Usuallly, {displaystyle { mathcal{F}_n } } is the natural filtration
                 {displaystyle mathcal{F}_n = sigma(W_0,W_1, cdots ,W_n) }
of some (stochastic) process {displaystyle { W = (W_n:n in mathsf{Z^+}) } }, and then the information about {displaystyle omega } which we have at time {displaystyle n } consists of the values
                 {displaystyle W_0(omega),W_1(omega),cdots,W_n(omega) }

 

直感的に,以下のように解釈してよいことがわかります.
・フィルトレーション {displaystyle { mathcal{F}_n } } は {displaystyle mathcal{F}  } の部分{displaystyle sigma }-加法族であり,確率過程により生成される {displaystyle sigma }-加法族(wikipediaも参照ください)である
・ある時点において利用できる {displaystyle omega } に関する情報は,その時点までの確率変数(の実現値の)列である

ついでに,適合過程の定義も載せておきます.

10.2 Adapted process
A process {displaystyle X=(X_n: n ge 0) } is called adapted (to the filtration {displaystyle { mathcal{F}_n } }) if for each {displaystyle n }, {displaystyle X_n } is {displaystyle mathcal{F}_n }-measurable.
Intuitive idea. If {displaystyle X } is adapted, the value {displaystyle X_n(omega) } is known to us at time {displaystyle n }. Usually, {displaystyle mathcal{F}_n=sigma(W_0,W_1,cdots,W_n) } and {displaystyle X_n = f_n (W_0,W_1,cdots,W_n) } for some {displaystyle mathcal{B}^{n+1} }-measurable function {displaystyle f_n } on {displaystyle mathsf{R}^{n+1} }.



以上,離散時間確率過程におけるフィルトレーションの定義について調べてみました.次の記事では連続時間の場合について調べることにします.

 

seetheworld1992.hatenablog.com